小学奥数奥数知识点汇总(全)

小学奥数重要知识点整理汇总资料

目录

数论知识点…………………………………………2～6

计算知识点…………………………………………7～14

应用题知识点…………………………………………15～23

几何知识点…………………………………………24～27

组合专题…………………………………………28～35

1

数论知识点

整除，奇数偶数，质数，合数，分解质因数，约数，倍数。rn余数问题：完全平方数，数

的进制，数的综合，周期性问题，数的拆分。

数的整除性

1、整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除

a，记作：b｜a。

2、整除的性质：

性质1.如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）。

性质2.如果bc｜a，则b｜a，c｜a。

性质3.如果c｜b，b｜a，则c｜a。

3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。

4、涉及极值的整除问题：逐步调整法。

5、数的整除特征：

a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……

b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；

c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个

数能被11整除；

d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果

差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；

如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个

数能被7、11或13整除；

e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；

如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；

如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整

除；

f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。如果相加的和能被99所整

除，那么这个数就能被99所整除。

奇数、偶数与奇偶性的应用

奇数和偶数的概念：

整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。因

为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以

2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。特别注意，因为0能被2

整除，所以0是偶数。最小的奇数是1，最小的偶数是0。

奇数与偶数的运算性质：

性质一：

偶数＋偶数＝偶数(偶数－偶数＝偶数)

奇数＋奇数＝偶数(奇数－奇数＝偶数)

偶数＋奇数＝奇数(偶数－奇数＝奇数)

可以看出：一个数加上(或减去)偶数，不改变这个数的奇偶性；

2

一个数加上(或减去)奇数，它的奇偶性会发生变化。

也就是说，两个奇偶性形同的数加减得偶数，两个奇偶性不同的数加减得奇数；

性质二：

偶数×奇数＝偶数(推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数)

偶数×偶数＝偶数(推广开来就是：偶数个偶数相加得偶数)

奇数×奇数＝奇数(推广开来就是：奇数个奇数相加得奇数)

可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数。

相邻两个自然数的和必为奇数，相邻两个自然数的乘积必为偶数；

两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性；

奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。

性质三：

任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

整数的奇偶性是整数的一种重要而有趣的性质，通过对于奇偶性的分析可以解决许多与整数

有关的数学问题和实际问题，这种方法被称为“奇偶分析法”。

质数、合数和分解质因数

1、质数和合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1和它

本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

注意：0和1不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数；3是最小的奇质数。

除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。

2、质因数和分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数

解：30＝2×3×5

其中2、3、5叫做30的质因数。

2

又如12＝2×2×3＝2×3，2、3都叫做12的质因数。

约数与倍数

约数和倍数的定义：

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

最大公约数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约

数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数，例如：(8，12)

＝4，(6，9，15)＝3。

最小公倍数的定义：

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：[8，12]＝

24，[6，9，15]＝90。

互质数：

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

最大公约数和最小公倍数之间的相互关系：

定理一：两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即如果(a，b)=d，那么(a÷d，

3

b÷d)=1。

定理二：两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

定理三：两个数的公约数，一定是这两个数的最大公约数的约数。

引申出来：

1、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

2、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。

3、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

余数问题

完全平方数

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方

数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

性质5：完全平方数的约数个数是奇数。

数的进制

关于进位制的两个需要注意的地方：

二进位制有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，…，7八个

数符，由低位向高位是“逢八进一”；根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概

念和运算。

为了区别各种进位制数，n进制中的数用a

n

表示。如果n≥10，那么从10到n－1的这些数符

可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示。比如，用A表示10，B表示11，C表示

12，D表示13，E表示14，F表示15等等。

2、十进制数与n进制数的互换：

n进制数写成十进制数是a

r

n＋a

r－1

n

rr－1

＋…＋a

2

n＋a

1

n＋a

0

。

2

十进制数化成n进制数，只要把十进制数用n除，记下余数；再用n除它的商，又记下余数；

直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n进制的数。这叫做“除n取余法”。

如把1234化成三进制数：

所以，1234

(10)

＝1200201

(3)

。

3、一般地一个自然数N可表示为

r

的形式，其中a

r

，a

r－1

，…，a

1

，a

0

是0，1，2，3，…，

r－1

9中的一个，且a≠0，即：N＝a

r

×10＋a

r－1

×10＋…＋a

1

×10＋a

0

。这就是十进制数，记

作N

(10)

，简记为N。十进制数有两个特征：(1)有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，

8，9；(2)“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、

千分位等自左向右的数位。

4、对于进位制需要注意其本质：n进制就是逢n进一。

数论综合

结合几个专题的数论知识，综合运用，主要是一些较为复杂的数论问题。

4

周期性问题

我们把周而复始循环出现的规律性的问题称为周期问题。如：日常生活中一周有7天，从星

期一开始到星期日，第8天我们不称为星期八而回到星期一，天天如此。这类问题一般要利

用余数的知识解决。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找

出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开

始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。

周期现象：事务在变化过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

闰年：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。

月份：1、3、5、7、8、10、12月大。

解答周期问题的关键：

1、找出周期；

2、考察余数，注意周期的首尾两数。

整数的拆分

整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法就是

自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在国内外数学竞赛中，

整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

带余除法

除法中有被除数和除数的整除问题，除此之外，例如：16÷3＝5……1，即16＝5×3＋1。因

此，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得

a＝b×q＋r。

当r＝0时，我们称a能被b整除；

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。

用带余除式又可以表示为a÷b＝q……r，0≤r＜b。

余数的性质

(1)被除数＝除数×商＋余数；除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数；

(2)余数小于除数。

(3)两个数和的余数,同余于余数的和；

两个数差的余数,同余于余数的差；

两个数积的余数,同余于余数的积。

同余的性质

同余定义：

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，记为：a≡b(mod

m)

则如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且a与b的差能被c

整除。(a，b，c均为自然数)

引申：若a与b的差不能被c整除，就称a，b对于除数c来说是不同余的。

同余式的性质：

性质1：a≡a(modm)，(反身性)

性质2：若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)

性质3：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)

5

性质4：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)

性质5：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)

nn

性质6：若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)

性质7：若ac≡bc(modm)，(c，m)＝1，那么a≡b(modm)，(记号(c，m)表示c与m的最大

公倍数)。

注意同余式性质7的条件(c，m)＝1，否则像普通等式一样，两边约去，这是错的。

例如：6≡10(mod4)，而35(mod4)，因为(2，4)≠1。

数的整除性

1、整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除

a，记作：b｜a。

2、整除的性质：

性质1.如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）。

性质2.如果bc｜a，则b

七位数175□62□的末位数字是_____时，不管千位上是0～

9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。

6

计算知识点

速算与巧算

一、加减法中的巧算：

1、加补数法

两个自然数相加，如果它们的和恰好是整十、整百、整千……那么就称其中的一个数为另一

个数的“补数”，这两个数称为互补。在加减法的运算中，如果有两个加数互为补数，那么

可以先求出它们的和，使计算迅速简便；如果题中没有互补的加数，那么可以设法分出互补

的加数，以便凑成整十、整百、整千……的数。

2、去括号和添括号的法则

在只有加减的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的

运算符号都不变；如果括号前面是“－”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算

符号都要改变，“＋”变“－”，“－”变“＋”，即：

a＋(b＋c＋d)＝a＋b＋c＋d

a－(b＋c＋d)＝a－b－c－d

a－(b－c)＝a－b＋c

如：

100＋(10＋20＋30)＝100＋10＋20＋30＝160

100－(10＋20＋30)＝100－10－20－30＝40

100－(30－10)＝100－30＋10＝80

3、找“基准数”法

在算式中的加减运算中，当所有数都接近某个数时，可以将这个数作为基数，然后把每个数

都看作是基数，计算，并且算出每个数与基数的差值，最后从结果中减去或加上这些差值。

4、分组凑整法

先把能凑成整十或整百(包括0)的数结合在一起，再把它们各自的结果数相加。

5、位值原理法

当遇到复杂的加减运算时，可以将每个数按位值分解，使具有相同位值的优先加减，最后将

各个位值运算的结果合并起来，使运算简化。

6、带“符号”搬家

如325＋46－125＋54

＝325－125＋46＋54

＝(325－125)＋(46＋54)

＝200＋100＝300。

二、乘法中的巧算：

1、两数的乘积是整十、整百、整千，要先乘。为此，要牢记下面这三个特殊的等式：

5×2＝10

25×4＝100

125×8＝1000

2、拆并法

在乘除法的计算问题中，观察题目，将其中的部分数拆分，从而能够使用相应的乘除法分配

率、结合率等等。

3、特殊因数的巧算

7

下面介绍几种特殊巧算的方法：

1、一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数。

例：3×99＝297＝300－3。

2、两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，

个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。

例：12×11＝？，49×11＝？。

分析：

方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。

3、三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相

加。

例：

4、两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。

例：巧算两位数与101相乘：

101×43＝？101×89＝？

可得上述结论。

5、三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。

例：巧算三位数与1001相乘：

1001×132＝？1001×436＝？

可得上述结论。

6、

被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型。

被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

对于计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

“同补”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×(头＋1)”。

“补同”速算法简单地说就是：积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×头＋尾”。

三、除法中的巧算：

1、在除法中，利用商不变的性质巧算

在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(零除外)，商不变。这就叫商不变的

性质。

商不变的性质是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法，分数、比的基本性质

等知识的基础，我们要学会根据商不变的性质，用简便方法计算被除数和除数末尾有零的除

法，即当被除数和除数末尾都有0的时候，可以运用商不变的性质，使被除数和除数末尾都

去掉相同个数的0，可以使计算简便。

2、在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。

8

如864×27÷54

＝864÷54×27

＝16×27

＝432。

3、当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。

4、在乘除混合运算中的“去括号”或“添括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，，去掉

“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括

号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，填括号的方法与去括号类似。

即a×(b÷c)＝a×b÷c从左往右看是去括号，

a÷(b×c)＝a÷b÷c从右往左看是添括号，

a÷(b÷c)＝a÷b×c

如：

1320×500÷250＝1320×(500÷250)＝1320×2＝2640

4000÷125÷8＝4000÷(125×8)＝4000÷1000＝4

5600÷(28÷6)＝5600÷28×6＝200×6＝1200。

数列与数阵

数字谜

比较和估算

定义新运算

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等。

如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际上是对应法则不同。可见一

种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算。当然，这

个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。只要符

合这个要求，不同的法则就是不同的运算。

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。严格按照新定义的

运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运

算。正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

(1)新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

(2)每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

计算综合

在计算问题中，可能涉及到四则运算、速算与巧算、数列计算、定义新运算及比较与估算等

多个知识点的综合运用。

分数和小数的互换

分数转化成小数的一般方法：

用分数的分子除以分数的分母，除不尽的一般保留三位小数。

分数转化为有限小数的判断方法：

(1)不是最简分数的，要先把它约成最简分数。

(2)能化成有限小数的分母中只含有质因数2和5；

(3)如果分母中含有2和5以外的质因数，就不能化成有限小数。

分数转化成循环小数的判断方法：

(1)一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分

9

数化成的小数必定是混循环小数。

(2)一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是

纯循环小数。

小数转化成分数的一般方法：

小数化成分数时，原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，原来的小数去掉小数点作分

子。注意约分的要约分。

循环小数化分数的公式：

；；；，……

循环小数化分数的规则：循环小数所化成的分数的分母由9和0组成，分母中9的个数与循环

小数的循环节的位数相同，9后面的0的个数与循环小数小数点后不循环的位数相同；分子则

是小数点后不循环的部分与第一个循环节所组成的多位数与不循环部分组成的多位数的差。

如果这样所得的分数不是最简分数，还需要将其化简。

繁分数的计算

1、繁分数的定义：

分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数，通常无法应用运算定律和运算

性质进行计算，因此繁分数的运算过程就是化简的过程，要分别对分子和分母逐步进行运算，

其间需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题

方法，化“繁”为“简”。

繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线(也叫主分线)。

主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果

一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，

依次向上为上一主分线，上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；两端

的叫末主分线。

如：

根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

2、繁分数计算的技巧：

(1)先找出繁分数中主分线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部

分的计算结果能约分的要约分，最后改成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出结果。如：

(2)繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，将繁分数的分子部分和分母部分同

时扩大相同的倍数(这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数)，从而去掉

分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。

3、混合运算的技巧：

繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与分母部分都是小

数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合

出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即：把小数化成分数，或把

10

分数化成小数，再进行化简。

即在复杂的题型中，需要进行分数、小数的化简，一般来说：

1)、化小数为整数：若分子、分母都是小数还可以利用分数的基本性质，分子与分母同时扩

大相同的倍数，把小数化成整数再化简。

2)、化小数为分数：繁分数中的分子或分母若含有小数，则一般可把小数化成分数再化简。

3)、化分数为小数：繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数，则可把分子

或分母中的分数化为小数再化简。

4)、化带分数为假分数：繁分数中的分子或分母若含有带分数，则把带分数化为假分数再化

简。

5)、化多层为单层：化简复杂的繁分数要学会分层化简。

6)、化复杂为简单：繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化

简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。

(1)

(2)

；

。

运算律

我们熟悉的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法

的分配律。简言之，即：交换律、结合律、分配律。

1、交换律：

交换律是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。

在四则运算中，加法和乘法都满足交换律。在小学课本中的表述如下：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。a＋b＝b＋a。

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×b＝b×a。

2、结合律：

在常见的四则运算中，加法和乘法都满足结合律。在小学课本中表述如下：

加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，

再和第一个数相加，它们的和不变。即表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

乘法结合律：三个数相乘，先把前面两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，

再和第一个数相乘，它们的积不变。即表示为：(a×b)×c＝a×(b×c)；

3、分配律：

在常见的四则运算中，乘法对加法和减法都满足分配律(即同时满足左右分配律)。

11

在小学课本里这个性质被表述为：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数

相乘，再把两个积相加。

左分配律：c×(a＋b)＝(c×a)＋(c×b)；

右分配律：(a＋b)×c＝(a×c)＋(b×c)。

数列的相关概念

按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……；最后一个数

叫末项。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

第1项(或首项)用a

1

表示，第2项用a

2

表示，…，第n项用a

n

表示，…，

数列的一般形式可以写出：a

1

，a

2

，a

3

，…，a

n

，…，

简记作：{a

n

}。

如果数列{a

n

}的第n项a

n

与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列

的通项公式。

S

n

＝a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

n－1

＋a

n

，叫做数列{a

n

}的前n项和。

巧填算符

所谓填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号(包括括号)，从而使这些

数和运算符号构成的算式成为一个等式。

在填算符的问题中，所填的算符包括：＋、－、×、÷、()、[]、{}。

解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。

凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，再对算式中剩下的数字作适

当的增加或减少，从而使等式成立。

逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。

数的比较

小数的比较大小很简单，重点是分数的一些比较方法和技巧，有：

1、同分母分数：分子小的分数小。

2、同分子分数：分母小的分数大。

3、比倒数：倒数大的分数小。

4、与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小。(适用于真分数)

与相减比较法：分别与相减，差大的分数小。(适用于小于的分数)

5、重要结论：

①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；

②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大。

6、交叉相乘法，如比较，的大小，由于2×7＜3×5，所以＜。简单的说，

谁的分子与对方分母乘出的结果更大，谁就更大。

常用公式

1、等差数列求和公式：总和＝(首项＋末项)×项数÷2(高斯求和公式)

2、等比数列求和公式：

3、平方差公式：a－b＝(a＋b)(a－b)

12

22

4、完全平方公式：(a±b)＝a±2ab＋b(表述为：首平方，尾平方，2倍乘积在中央)

222

5、立方和公式：1＋2＋3＋4＋……＋n＝(1＋2＋3＋4……＋n)＝(

6、平方和公式：1＋2＋3＋4＋……＋n＝

22222

333332

)

2

n(n＋1)(2n＋1)

7、1＋2＋3＋…＋n＝

8、1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n

等差数列

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。公

差一般用d表示。

如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；

2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；

5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。

等差数列的相关公式：

2

项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1，即；

通项公式：第几项＝首项＋(项数－1)×公差，即a

n

＝a

1

＋(n－1)d；

求和公式：总和＝(首项＋末项)×项数÷2，即或。

平均数公式：平均数＝(首项＋末项)÷2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数

列求和公式求和。

算式谜

在数学竞赛中，我们会遇到这样一类题目，题中只给出一些类似谜面的已知信息，而要求找

出谜底一样的位置信息，这样的题目被称为“算式谜”。

“算式谜”是一种猜数的游戏，我国古代称它为“虫食算”，好像是小虫把“算式”咬了几

个小窟窿。解“算式谜”就是把这些被“小虫咬掉”的数字补充完整，并使算式成立。

解答“算式谜”必须依据题中残留的一些数字，有的则是根据题目中指代的字母和汉字，做

细致而全面的分析、推理和判断，把所缺的部分或全部数字填出来。

一般解题步骤：

1、先确定明显部分的数字；

2、寻找突破口，缩小范围；

3、分情况讨论。

数的估算

在日常生活中，我们经常要计算一些数据，计算能力是我们都应该注意训练的，对学生进行

计算能力的培养，也应该包括估算的能力培养。因为在计算时，往往会遇到比较繁难的计算，

而在许多情况下，也不需要精确算出结果，估算出一个相对正确的和符合要求的数值就可以

了，这就是估算、估值，其表现形式主要有以下两种：

(1)省略尾数取近似值，即观其“大概”；

13

(2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。

省略尾数有一种特殊的情况：取整计算。

比如，用5米长的花布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求这块布料可以做几件上衣？

，我们的答案取的整数部分2，又如我们收水费时，为方便经常是忽略掉用水

量的小数吨数，而是先按用水量的整数吨数收费把余量推至下一个月一起收。所以数学上引

用了符号[]，使我们的表述简明。

[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分。

例：[0]＝0，[0.03]＝0，[]＝2，[10.25]＝10，[7]＝7，[]＝0。

[a]显然有以下性质：

(1)[a]是整数；

(2)[x]≤x；

(3)x＜[x]＋1；

(4)若b≥1，则[a＋b]＞[a]；若b≤1，则[a＋b]≤[a]＋1。

小数的巧算

小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可

能快地化为整数。在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂。

当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点

反向移动相同的位数，其积不变(如0.8×1.25＝8×0.125)；两数相除，两数中的小数点同

向移动相同的位数，其商不变(如0.1

14

应用题知识点

应用题部分，行程部分

基本应用题

和差倍问题

植树问题

年龄问题

年龄问题是小学数学中常见的一类问题。例如：已知两个人或者若干个人的年龄，求他们年

龄之间的某种数量关系等等。年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合。

年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

③两个人的年龄的倍数是发生变化的。

解答年龄问题的一般方法与和差倍问题的解决方法相同。

盈亏问题

基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果；按照另一种标准分组，又产

生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对

象的总量。

基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关

系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。

基本题型：

①一次有余数，另一次不足：(盈亏型)

基本公式：总份数＝(余数＋不足数)÷两次每份数的差

②当两次都有余数：(盈盈型)

15

基本公式：总份数＝(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差

③当两次都不足：(亏亏型)

基本公式：总份数＝(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差

基本特点：对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：确定对象总量和总的组数。

鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是一个十分古老的问题，它的最基本模式是：“已知鸡兔总头数和总脚数，求

鸡、兔各有几只？”

基本思路：

①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)；

②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚数－鸡脚数)

②把所有兔子假设成鸡：兔数＝(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)

关键问题：找出总量的差与单位量的差。

事实上，在生活中有广泛的问题可归结为鸡兔同笼问题的模式，从而可用它的基本关系式来

解决，关键是要善于发现这类问题，并找到鸡兔及其头数、脚数的对应关系。

平均数问题

求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年

龄、平均身高、平均分数……”。

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均

数。

基本公式：

①平均数＝总数量÷总份数

总数量＝平均数×总份数

总份数＝总数量÷平均数

②平均数＝基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

基本原理：

平均数问题最基本的原理是“移多补少”。

几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大。

基本算法：

①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或

16

者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再

求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系

见基本公式②。

牛吃草问题

有这样一类问题，例如“牧场上有一片牧草，这些牧草每天都均匀生长。这片牧场可供15

头牛吃20天，可供20头牛吃10天，新生草量可供几头牛吃1天？”类似的应用题被称为“牛

吃草”问题。

基本思路：假设一头牛在单位时间内所吃草的量为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其

中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定上述两个不变量。

基本公式：

生长量＝(较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数)÷(长时间－短时间)；

总草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。

解决这类问题的思维模式及数量关系常可应用到现实生活中某种场合下所发生的问题中去。

例如合理开发火车站检票口问题；工程问题中的进水-出水问题；行程问题中的追及问题、

电梯问题；合理调度运输车辆运送仓库货物问题；甚至预测地球固有资源的消耗速度及人口

消耗地球资源速度而必须控制人口的增长等问题。

分数、百分数问题

分数应用题是研究数量之间的份数关系，用分数表示倍数关系的典型应用题。一方面它是

在整数应用题基础上的延续和深化；另一方面，它有其自身的特点和解题规律。分析解答时

需要弄清楚“量”与“率”的对应的关系，这是解题的关键。尤其当单位“1”确定之后，

如何建立已知条件与所求问题间的量率对应关系，对解决问题更为重要。

在分析解答分数问题时，为了清晰地体现对应思想，常常采用画线段图的方法，使量率间的

对应关系较为直观地反映出来。在解答逆向运用量率对应关系的分数问题时，常常将表示单

位“1”的量设为x，列方程解答，以使化逆为顺。

百分数应用题主要是求一个数是另一个数的百分之几的应用题，这种应用题与求一个数是

另一个数的几分之几的应用题相同，但程度上有所加深，这是因为分数和百分数都可以表示

两个数的比。所以，百分数应用题的解题思路和方法与分数应用题大致相同。

浓度问题

浓度问题是一种常见的百分数应用题。在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这

类问题研究的主要是溶剂(水或其它液体)、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是

一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百

分比叫做浓度，也叫百分比浓度。

溶液＝溶质＋溶剂；

浓度＝；

溶质＝溶液×浓度；

溶液＝溶质÷浓度；

溶剂＝溶液－溶质＝溶液×(1－浓度)。

17

经济问题

经济问题也是一种常见的百分数应用题。一般情况下，商品从厂家购进的价格称为成本(也

叫进价)，商家在定价的基础上提高价格出售，就会获得收入，收入比成本高的那部分就是

利润，利润与成本之比称之为利润率，利润与成本之比为利润的百分数。利润率通常用百分

数来表示。

利润＝售价－成本；

售价＝成本×(1＋利润率)；

利润率＝×100％；

亏损＝成本－售价；

亏损率＝×100％。

商店有时为了尽快将商品出售，将商品打折出售来增加销量。打八折就是原价的80％。

售价＝原价×折扣

对于利息问题，是人们将钱存入银行，也就是本金，要按照国家规定的利率获得利息，利息

的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是

指存期一年本金所生利息占本金的百分比；月利息是指存期一月所生利息占本金的百分数。

在存款到期取款时，还应缴纳利息税，这里的税率也是以百分率的形式表示。所以，利润和

利息相关的问题也是常见的百分数问题。

本金：储蓄的金额；

利率：利息和本金的比；

年(月)利率＝利息÷本金÷存款年(月)数×100％；

利息＝本金×存款年(月)数×年(月)利率；

本利和＝本金＋利息＝本金×[1＋年(月)利率×存款年(月)数]。

其它经济问题只要掌握数量关系，如：上交税收＝应纳税收入×税率；保险金额×保险费率

×保险期限。

工程问题

在日常生活中，做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等等，都要涉及到工作总量、

工作效率、工作时间这三个量之间的关系。在小学数学中，研究这三个数量之间关系的应

用题，我们都叫做“工程问题”。它的特点是将工作总量看成是“1”，用分率表示工作效

率，对问题进行解答。

工程问题的三个基本数量关系式：

工作效率×工作时间＝工作总量；

工作总量÷工作时间＝工作效率；

工作总量÷工作效率＝工作时间。

行程问题

比和比例问题

学习比和比例问题是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的

基本要求。

比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题。解答比和比例问题应综合运

用比和比例的意义、性质，它常常同分数应用题、工程问题以及行程问题等交织在一起，使

数量关系变得复杂起来。

比例问题的解题思路和方法是：

18

第一步要找出与问题有关的两种相关联的量，并正确判断它们是否成比例关系，是成正比例

还是成反比例；

第二步找出两种量的对应数值，并将未知数量设为x；

第三步根据正、反比例意义列出比例式；

第四步解比例，求出x的值；

第五步检验、写出答句。

其中判断是否成比例，是成正比例还是成反比例，是解题的关键。

归一问题

基本概念：

在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类

应用题叫做归一问题。

归一问题有两种基本题型：

一种是正归一，也称为直进归一。如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少

米？另一种是反归一，也称为返回归一。如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240

千米需几小时？

正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步。正归一问

题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。

数量关系：总量÷份数＝1份数量；

1份数量×所占份数＝所求几份的数量；

另一总量÷(总量÷份数)＝所求份数。

列方程解应用题

列方程解应用题时，由于引用了字母x，所以在分析应用题时，不必绕过未知数，而把未知

数暂时看作已知数，直接参与列式运算，这样的解题思路更加直接了当，降低了思维难度，

适用面广特别是用算术方法需要逆解的题，列方程解往往比较容易。

列方程解应用题，一般按下面的步骤进行：

(1)弄清题意，找未知数并用x表示；

(2)找出题中的等量关系，并根据等量关系列出方程；

(3)解方程；

(4)检验，写出答案。

和差倍分应用题

在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变

形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中应注意合理选取单位“1”，且题目中隐藏

的不变量或公共量往往是关键。

倒推法

在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法。这种方法是从所叙述应用题或文字

题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题。

方阵问题

基本概念：将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物

数，这类问题就叫做方阵问题。

数量关系：

1、方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝(每边人数－1)×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

2、方阵总人数的求法：

19

(1)实心方阵

总人数＝每边人数×每边人数

(2)空心方阵

最外层每边人数=最内层每边人数+2(层数-1)

总人数＝(最外层每边人数－层数)×层数×4

解题思路：方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变

化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

上楼梯和锯木头问题

楼梯每个人都走过，但是楼梯上也有数学问题，例如家住在六楼，每层楼梯有16级，每次回

家共要走多少级楼梯？又如一个台阶共有5级，从下面走到最上面，每次只能走1级或2级，

共有多少种不同的走法？这样的问题就是上楼梯问题。注意哦，一楼是不用上楼梯的！

另外，一根木头锯成两截，是锯一次还是两次呢？对了，锯一次就可以把一根木头锯成两截

了，锯两次就可以锯成三截。那么，锯三次呢？四次呢？我们发现：段数＝锯的次数＋1。

这样的问题就是锯木头问题。

枚举法

养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，

有多少个鸡蛋也就数清了，这种计数的方法就是枚举法。一般地，根据问题要求，一一列举

问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列

举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析问题、解决问题的方法，

称之为枚举法。

运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，为此必须力求有次序、有规律地进行枚

举。

普通的行程问题

已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。

解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计

算。

行程问题的基本数量关系是：

速度×时间＝路程

路程÷速度＝时间

路程÷时间＝速度

关键问题：确定运动过程中的位置。

行程中的基本问题：

1.简单行程：路程＝速度×时间

2.相遇问题：路程和＝速度和×时间

3.追击问题：路程差＝速度差×时间

和差问题

利息问题

周期工程问题

在周期工程问题中，工作者是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周

期的工作量，利用周期性规律，使复杂的问题化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部

分所需的工作时间，这样才能正确解答。

相遇和追及

【相遇问题】

基本概念：两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问

20

题。

数量关系：相遇时间＝总路程÷速度和；

总路程＝速度和×相遇时间。

【追及问题】

基本概念：两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不

同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度快些；在前面的，行进速度较慢

些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追击问题。

数量关系：追及时间＝追及路程÷速度差；

追及路程＝速度差×追及时间。

不封闭（直线）植树问题

“盈亏”型

和倍问题

多次相遇追及

在多次相遇和追击问题中，基本的公式是与简单相遇和追及问题一致的，都是从“距离和”

和“距离差”的角度考虑。

我们可以将每一次的相遇、追及单独考虑，即将题目分解为若干个简单的相遇追及问题。

在两人多次相遇问题中，若两人分别从路线两端出发，相向而行，往返两地之间，相遇N

次，路程和为2N-1个全程；若两人从同一端出发，往返两地之间，相遇N次，路程和为2N

个全程。

封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题

“盈盈”型

差倍问题

发车间隔问题

在间隔发车问题中，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车

发车时间间隔、相遇(追及)事件时间间隔。

这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：

(1)首先分析一下公共汽车的发车过程：

从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车

的时候，前一辆车已经行驶了“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行

驶了“汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保

持为“相邻汽车间距”，所以得到第一条公式：

汽车间距＝汽车速度×汽车发车时间间隔

(2)

如果行人和汽车相向(反向)行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作

一个相遇问题，所以有如下数量关系：

汽车间距＝相遇距离＝(汽车速度＋行人速度)×相遇事件时间间隔(即过多长时间迎来下

一辆车)

(3)

如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：

汽车间距＝追及距离＝(汽车速度－行人速度)×追及事件时间间隔(即过多长时间从后面

21

追来一辆车)

注：间隔问题的难点在于时间把握上，其实只要知道这个时间从何时而起，到何时结束，

那么间隔问题就是一个很简单的相遇或者追及问题了。

“亏亏”型

折扣问题

平均速度

平均速度反映了整个行程的快慢，由这个概念得到平均速度的公式：平均速度=。

公式中的“总路程”、“总时间”、“平均速度”都是相对应的，例如：一辆卡车从A地到

B地所花时间为T

1

，再从B地到C地所花时间为T

2

，那么这辆卡车在AB之间的平均速度为

，BC间的平均速度为，而AC间的平均速度为。所以平均速度一定要

用相对应的总路程和总时间来求。

水电费估价问题

流水行船

船在水中航行时，除了自身的速度外，还受到水流的影响，在这种情况下计算船只的航行速

度、时间和行程，研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题，叫做流水行船问题。

流水行船问题是行程问题中的一种，因此行程问题中的速度、时间、路程三个基本量之间的

关系在这里也当然适用。

流水行船问题有以下两种基本公式：

(1)顺水速度＝船速＋水速，V

顺

＝V

船

＋V

水

；

(2)逆水速度＝船速－水速，V

逆

＝V

船

－V

水

；(其中V

船

为船在静水中的速度，V

水

为水流的速

度)；

由上可得：船速＝(顺水速度＋逆水速度)÷2；

水速＝(顺水速度－逆水速度)÷2。

利润问题

自动扶梯问题

自动扶梯问题与流水行船问题类似，也分为两种情况：

(1)人和电梯方向相同：

此时可见部分＝人走的距离＋电梯走的距离，类似于顺水走。

(2)人和电梯方法相反：

此时可见部分＝人走的距离－电梯走的距离，类似于逆水走。

接送问题

环形路线

环形跑道问题，是指从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同

向而行，则每追上一圈相遇一次。这个等量关系往往是解决问题的关键。

关于这个等量关系，我们先设一种情况来举例：

甲乙在环形跑道的某点同时开始匀速绕行，当是同向而行至相遇时：乙程－甲程＝跑道长

22

(假设甲速＜乙速)，本质上可以看作是追击问题；当是背向而行至相遇时：乙程＋甲程＝

跑道长，本质上可以作为相遇问题处理。

当然也会存在这在不同点出发的情况，但是等量关系的计算方法是类似的。

时钟问题

基本思路：封闭曲线上的追及问题。

关键问题：(1)确定分针与时针的路程差；

(2)确定分针与时针的初始位置。

在钟面上每针都沿顺时针方向转动，但因速度不同总是分针追赶时针，或是分针超越时针的

局面，因此常见的钟面问题往往转化为追及问题来解．

在钟面上，各针转动的速度是确定的，分针的速度是时针的速度的12倍。

如果以格为单位，那么分针的速度是每分钟1格，时针的速度是每分钟格(每小时5格)；

如果以度为单位，因为钟面上360度共60格，所以1格相当于6度，故分针的速度是每分钟6

度，时针的速度是每分钟0.5度。

周期行程

火车行程

在一般的行程问题中，所涉及的运动物体，如车、船、飞机等，都不考虑其自身的长度，而

只关注路程。但是，火车的长度通常都达到100米以上。相对于火车行程问题，就需要考虑

火车的长度。

(1)火车超车(追击问题)

追超时间＝(A车身长＋B车身长)÷(A车速－B车速)，即追超时间＝车身长和÷速度差

(2)火车错车(相遇问题)

遇离时间＝(A车身长＋B车身长)÷(A车速＋B车速)，即遇离时间＝车身长和÷速度和

(3)火车过桥或山洞

过桥时间＝(火车长度＋桥长)÷火车速度

23

几何图形

几何知识点

直线型计算

曲线型计算

规则图形的曲线型计算：

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半

径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。扇形由顶点在圆心的角的两边和

这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分。我们经常说的圆、圆、

圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分

之几。

圆的周长：L＝2πr；扇形的弧长：l＝2πr×

圆的面积公式：S＝πr；扇形的面积s＝πr×

22

(n表示扇形的圆心角的度数)；

(n表示扇形的圆心角的度数)；

弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积。

一般来说，弓形面积＝扇形面积－三角形面积。(除了半圆)

不规则图形的曲线型计算：

对于由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的复杂的不规则图形，

为了计算其面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之

转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”(即：集合A与集合B之间有：

S

A∪B

=S

A

+A

B

-S

A∩B

)合并使用才能解决。

立体几何

立体图形的特征：

1、正方体：8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；

2、长方体：8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；

3、圆柱体：上下两底是平面且相等的圆；侧面展开后是长方形；

4、圆锥体：下底是圆；只有一个顶点；

5、球体：圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。

立体图形的表面积、体积计算公式：

立体图形表面积

S

正方形

＝6a

2

S

长方形

＝2(ab＋bc＋ac)

S圆柱＝侧面积＋2个底面积＝2πrh＋2πr

2

体积

V正方体＝a

3

V长方体＝

abc

V圆柱＝πrh

2

S圆锥＝侧面积＋底面积＝πl＋πr，

22

V圆锥＝

注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长

24

πrh

V球体＝

S球体＝4πr

2

πr

3

2

几何综合

几何综合主要体现对几何中知识点的综合考量，可能同时运用几何中的多个知识点，将几个

知识点相互关联，融合在一起，解此类题目时要注意思考角度的灵活转变。

角度

角的定义：角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。

角的大小：角的大小看两条边叉开的大小，叉开的越大，角越大。

角的度量：计量角的大小的单位是度，用符号“°”表示。

角的分类：小于90°的角叫做锐角；大于90°而小于180°的角叫做钝角。角的两边在一条

直线上的角叫做平角。平角180°。

三角形三个内角和是180°。

图形的剪拼

把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种

条件的图形。完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间

的位置关系。

等积变形

两个平面图形面积相等，则称这两个图形等积。解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求

的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积，其中三角形的等积变形的技巧是各种等

积变形的核心。

1、等底等高的两个三角形面积相等；

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

3、两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

4、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S

△ACD

=S

△BCD

；

反之，如果S

△ACD

=S

△BCD

，则可知直线AB平行于CD。

鸟头定理

在同一三角形中，相应面积与底边成正比关系，即：两个三角形高相等，面积之比等于对应

底边之比。

或：两个三角形底相等，面积之比等于对应的高之比。

拓展开来：等分点的结论(鸟头定理)

鸟头定理也叫共角定理，两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

25

如图在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则

S△ABC:S△ADE＝(AB×AC):(AD×AE)。

蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(蝴蝶定理)：

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可

以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对

应的对角线的比例关系。

梯形蝴蝶定理

(1)S

1

:S

3

＝a:b；

22

(2)S

1

:S

3

:S

2

:S

4

＝a:b:ab:ab；

2

(3)梯形S的对应份数为(a＋b)。

相似三角形性质

1、金字塔模型：

22

2、沙漏模型：

；

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样

改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

(1)相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

(2)相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

燕尾定理

燕尾定理因为图形类似于燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，

为三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

26

长方形正方形

长方形与正方形的面积计算是小学数学教学的重点和难点，主要原因是小学生的空间概念不

够丰富，缺乏空间想象能力而造成的，因此，我们要多培养学生空间观念，多看多想象。解

答长方形与正方形的面积主要运用下面的数量关系式即可。

①正方形面积＝边长×边长

②长方形面积＝长×宽

周长

围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。

正方形的周长＝边长×4

长方形的周长＝(长＋宽)×2

对于标准图形的周长，我们可以直接用公式求出。但是对于一些复杂的图形，虽然不是正方

形或长方形，但是通过观察可以发现它能转化成标准的长方形和正方形图形来求周长。

27

组合专题

数学专题，杂题

智巧趣题

解答智巧趣题的关键是要从实际情况出发，抓住问题的本质，借助图形等进行分析判断，启

发孩子的智慧，激发想象力，培养孩子多角度考虑问题的能力。主要是一些高年级的专题思

想的渗透。同时要注意不能被一些表面现象或数量所迷惑，否则就会掉入题目所设置的陷阱

中。

计数问题

加法原理：

生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几

种可能的做法。那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决。

例如：王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从

北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津，那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？

分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘

火车，有5种走法；如果乘长途汽车，有4种走法。上面的每一种走法都可以从北京到天津，

故共有5＋4＝9种不同的走法。

在上面的问题中完成一件事有两大类不同的走法。在具体做的时候，只要采用一类中的一种

方法就可以完成。并且两大类方法是互不影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一

类的方法数加上第二类的方法数。

一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m

1

种不同做法，第二类方法中有m

2

种不同做法，…，第k类方法中有m

k

种不同的做法，则完成这件事共有N＝m

1

＋m

2

＋…＋m

k

种不同的方法，这就是加法原理。

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，

这样的问题可以使用加法原理解决。我们可以简记为：加法分类，类类独立。

分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

其次，分类时要注意满足两个基本原则：

(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；

(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。

只有满足这两个基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。

乘法原理：

在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，往往要分为多个步骤，而在完

成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用到乘法原

理。

例如，张老师要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会。其中，他从北京到大连可以

乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船。那么，他从北京到天津共有多少

种不同的走法？

分析这个问题发现，张老师从北京到天津要分两步走：第一步是从北京到大连，可以有三种

方法：乘长途汽车、火车或飞机；第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种方法，所以他

从北京经大连到天津共有三种走法：

28

注意到：3×1－3。

如果张老师到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京经大连到天津有以下几种走法：

共有六种走法，注意到：3×2＝6。

在上面的例子中，完成一件事情要分为两个步骤，可以看出，用第一步所有的可能方法数乘

以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数。

一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m

1

种不同的方法，做第二步有

m

2

种不同的方法，…，做第n步有m

n

种不同的方法，则完成这件事一共有N＝m

1

×m

2

×…×m

n

种不同的方法，这就是乘法原理。

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件

任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决。我们可以简记为：乘法分步，步步相

关。

抽屉原理

基本概念：把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，

剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话

表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果，这就是数学中的抽屉原理问题。

基本的抽屉原理是：如果把n＋1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉

中放着2个或更多的物体(元素)。

抽屉原理可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r(0＜r≤m)个元素，那么至少有一个抽

屉要放(k＋1)个或更多的元素。

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放(k＋1)个或

更多的元素。

解题思路：(1)构造抽屉，指出元素；

(2)把元素放入(或取出)抽屉；

(3)说明理由，得出结论。

容斥原理

在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出

现。为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，即先不考虑重

复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数

目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复。这种计数方法成为包含排除法，也叫做容

斥原理或重叠问题。

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考。

29

容斥原理一：C＝A＋B－AB，利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题。

容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC利用这一公式可计算三个集合圈的有关问题。

逻辑推理

逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的

逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一

般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问

题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律——同一律，矛盾律，

排中律和理由充足律。

(1)“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾；

(2)“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既不真也不假。

(3)“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须的确定的，在进行判断和

推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。

(4)“理由充足律”是指在一个推理过程中，要确定某一判断是对的或不对的，必须有充足

的理由。

统筹优化

我国古代有一句话：“运筹于帷幄之中，决胜于千里之外。”后人用这句话来形容领导者在后

方筹划、制定作战策略，能决定千里之外的战争胜负。这里“运筹”是制定策略、策划、统筹

安排的意思。

在日常生活学习和生产、工作中经常遇到一些事情需要我们进行合理的安排，既要在某一段

时间内做好几件事情或完成各项任务，还要考虑到尽可能精打细算，节省时间、人力和物力，

从而发挥出最大的效率，这就是统筹优化。

操作问题

构造与论证

在构造与论证时，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或

线着手进行分析。

在构造与论证中，常用的手段有抽屉原理、整除性分析、奇偶性分析和不等式估算等。

不定方程

概率

互斥事件的定义：

不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)。

如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件。

若A与为对立事件，则P(A)＋P()＝1。

相互独立事件的定义：

事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事

件。

即相互独立事件同时发生的概率是：P(AB)＝P(A)P(B)。

这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件的概率的积。

一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事

件发生的概率的积，即

P(A

1

·A

2

…A

n

)＝P(A

1

)·P(A

2

)…P(A

n

)。、

那么，在概率中，应用加法公式，必然是互斥事件；应用乘法公式，则必然是相互独立事件。

30

最大与最小

在日常生活中经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等问题。我们把这类问题统称为“最

大与最小”问题。

数学中的最大值、最小值问题涉及的知识面很广，题目也较复杂，其中有一小部分题，可以

利用一定的解题模式来求解，而其余大部分题没有固定的解题模式，要根据题中给出的条件

去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案。

解“最大与最小”问题，实际上是一种解决实际问题的尝试和锻炼，也是我们适应未来生活的

需要。

递推方法

递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想。例如自然数中最小

的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，

5，…。在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a

n

，则

a

n＋1

＝a

n

＋1

即由自然数中第n个数加上1，就是第n＋1个数。

由此可得

a

n＋2

＝a

n＋1

＋1，

这样就可以得到自然数数列中的任何一个数。

我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知

数。这种解题方法称为递推法。

一笔画

一笔画，就是能够一笔画成的图形，这里的“一笔”是要求下笔后笔不离开纸面，而且每

条线只能画一次。

一笔画原理是：

(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；

(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(奇点是

指有奇数条线与它相连接的点，偶点同理)

(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；

(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

由此引申出来两点：

(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形

中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和

是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端

点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。如果我们

将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样

的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段GF和BJ去掉，剩

下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)

笔画成。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如

果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的B，

31

C两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以

使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

火柴棍问题

用火柴棍可以摆出一些数字和运算符号，如、、、；还可以摆出几何

图形如正三角形、正方形、菱形、正多边形和一些物品的形状。通过移动火柴棍，可进行算

式的变化，可以用它来做有趣的图形变化游戏。

在用火柴棍摆数学算式时，可以通过添加、去掉和移动几根火柴来使一些原来不正确的算式

成立，在思考由火柴棍组成的算式的变换时，应注意以下两点：

(1)在考虑使等式成立的数时，注意数字只限于

讨论的数的范围，而运算符号也只限于、

、

、

、

。

、。这就缩小了可

(2)要使算式成立，经常要添加、去掉和移动几根火柴，从而达到目的，而“添”、“去”、

“移”的一般规律是：

添，添加一根火柴，可变“

“

”为“”，变“”为“”，变“

”号变为“

”为

””，还可以在数前、数后添上“

”号变为“

”，另外，可以把“

号，把“”号，在两个数之间增加“”号等。

”为“

”，变“

”，变

”为

去，“去”是“添”的反面，要去掉一根火柴棍，常可以变“

“

“

”为“”，变“”为“”，变“”为“

”。还可以去掉数字前面或后面的“”，以及数字之间的“”号等。

移，“移”是“去”和“添”的结合，移动火柴棍时，要保证火柴的根数没有变化。如

“

“

”与“

”与“

”之间，“

”之间，“

”与“

”与“

”之间，“”与“”之间，

”之间都可以互相转化。

用字母表示数和简易方程

用字母表示数，同学们并不陌生，大家学过的运算规律、运算性质，几何图形的计算公式、

常见的数量关系式等都可以用字母简明、准确地表示出来。既然字母表示的是数，所以它可

以像数一样进行运算。这就为进一步研究、解决问题带来了很大的方便。

用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系。

例如：“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。”

“两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。”

……

这首儿歌反映了青蛙的只数和青蛙的嘴的数目、眼睛的数目以及腿的数目之间的关系，即：

青蛙的嘴的数目等于青蛙数，眼睛的数目等于青蛙数目的2倍，腿的数目等于青蛙数目的4

32

倍。

用字母表示数以后，上述关系就可以简捷地表示为：

“n只青蛙有n张嘴，2n只眼睛，4n条腿。”

用字母表示数可以给我们研究问题带来很大的方便。用字母表示数是代数的一个重要特点，

是数学发展史上的一个进步。

在学习用字母表示数时，应注意以下四点：

1、数字和字母、字母和字母之间的乘号可以省略，也可以记作“·”，但数字要写在字母

的前面。

2、数字与数字之间的乘号不能省略。

222

3、a＝a·a≠a＋a，a≠2＋a，a≠2a。

4、如果知道一个式子中各字母所表示的数值，把它们代入式子中，就可以求出式子的值，

代入时把原来省略的运算符号重新补上去。

排列组合

排列：一般地，从n个不同的元素中取出r个不同元素的无重复排列的方法数叫排列数，记

为，＝n(n－1)(n－2)…(n－r＋1)。我们记n!表示n的阶乘，即n!＝

1×2×3×4×5×…×n。

组合：一般的，从n个不同元素中任取r个不同元素，不考虑取出元素的顺序并成一组，这

类任务叫做从n个不同元素中取出r个不同元素的无重复组合。组合与排列的区别在于取出

元素是否考虑它们的位置或顺序。符号

复组合数。利用排列数可以给出

表示从n个不同元素中取出r个不同元素的无重

的计算方法。我们把任务“从n个不同元素中选出

r个不同的元素的排列”分为两步：

(1)从n个不同的元素中选取r个不同的元素，方法有

(2)对选出的r个元素进行排列，方法有

由乘法原理可得：，

。

种；

所以。

策略问题

在数学竞赛中，有一类很有趣味的智力游戏题，涉及到的课本知识并不多，但是技巧性比较

强。在智力游戏中，对立者总是竭尽全力争取最大的胜利，不希望自己失败，因此对立者都

认真选择对付对方的方法。用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做策略问题。

图论问题

由若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点

或线着手进行分析。

利用不定方程解应用题

大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古

代著名的“鸡兔同笼”问题。

如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。

33

数图形

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数三角形、数综合图形等。通过学习

几何计数问题，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通

过观察、思考探寻事物规律的能力。

规则图形：

1、数线段规律：一条直线上若有n个点，则有线段条数为1＋2＋3＋…＋(n－1)＝

2、数角规律：若有n条边，则有角的个数为：1＋2＋3＋…＋(n－1)＝

3、数长方形的规律：长上的线段条数m×宽上的线段条数n＝

22

；

；

；

22

4、数正方形规律：最大边上的单位线段数为n，则有正方形1＋2＋3＋…＋n。

不规则图形：

1、方法：合理分类，进行枚举，不重复，不遗漏。

2、分类方式：面积大小，图形形状，线段长度等分类。

染色问题

染色是分类的一种直观形象表示。解答这类问题，往往是奇偶性、抽屉原理等多种知识的

综合运用，一般情况题目并没有提到染色，我们在解题中用直观形象的染色来进行分类，往

往浅显明了，使人一目了然。

利用同余解不定方程

首先说明一下同余式以及同余式的性质：

同余式：

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，记为：a≡b(mod

m)

同余式意味着(我们假设a＞b)a－b＝mk，k是整数，即m∣(a－b)。

于是，如果两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

同余式的性质：

性质1：a≡a(modm)，(反身性)

性质2：若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，(对称性)

性质3：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)，(传递性)

性质4：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，(可加减性)

性质5：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，(可乘性)

nn

性质6：若a≡b(modm)，那么a≡b(modm)，(其中n为自然数)

性质7：若ac≡bc(modm)，(c，m)＝1，那么a≡b(modm)，(记号(c，m)表示c与m的最大

公倍数)。

利用同余解不定方程的关键在于模m的选择。一般而言，可考虑除数或除数的因数、项的系

数或幂的指数等作为模。

最短路线

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的

街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能

够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，既要做到不重

复数，也不漏数。对比较复杂的图形，可以借助图表，且在图中每个交叉点标出最短路程

来寻找最短路线。

34